Integrera en Funktion Med Tangent Case

March 2

När funktionen du integrera innehåller en term på formen (en 2 + x 2) n, rita ditt trigonometri substitutions triangel för tangent fallet Anta till exempel att du vill utvärdera följande integral.:

Integrera en Funktion Med Tangent Case

Detta är en tangent fallet, eftersom en konstant plus en multipel av x 2 höjs till en effekt (-2). Här är hur du använder trig substitution att integrera:

  1. Rita triggsubstitutions triangel för tangent fallet.

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Figuren visar hur du fyller i triangeln för tangent fallet. Lägg märke till att den radikala av vad som finns innanför parentes går på hypotenusan i triangeln. Sedan, för att fylla i de två andra sidorna av triangeln, använd kvadratrötter i de två termer inuti radikala -. Dvs 2 och 3 x Placera den konstanta termen 2 på den intilliggande sidan och variabeln sikt 3 x på motsatta sidan.

    Med tangent fallet, se till att inte blanda ihop din placering av den rörliga och den ständiga.

  2. Identifiera de separata bitar av integralen (inklusive dx) som du behöver för att uttrycka i termer av theta.

    I detta fall innehåller den funktion två separata delar som innehåller x:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

  3. Uttryck dessa bitar i form av trigonometriska funktioner theta.

    I tangent fallet bör alla trigonometriska funktioner initialt uttryckas som tangenter och secants.

    För att representera rationella delen som en triggfunktion theta, bygga en bråkdel hjälp av radikala

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    som täljare och konstant 2 som nämnare. Ställ sedan in denna fraktion lika lämplig triggfunktion:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Eftersom denna fraktion är hypotenusan av triangeln över intilliggande sida

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    det är lika med

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Nu använder algebra och trig identiteter för att justera denna ekvation i formen:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Nästa, uttrycker dx som en triggfunktion theta För att göra det, bygga en annan fraktion med variabeln 3 x i täljare och konstant 2 i nämnaren.:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Denna gång, är den fraktion den motsatta sidan av triangeln över intilliggande sida

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    så det är lika

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Nu löser för x och sedan skilja:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

  4. Uttryck integrerad i termer av theta och utvärdera den:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Nu några avbokning och omorganisation förvandlar detta otäcka utseende integrerad till något hanterbart:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Vid denna punkt, kan du utvärdera detta gral:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Så här är substitutionen:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Och här är den primitiva:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

  5. Ändra de två theta termer tillbaka in x termer:

    Du måste hitta ett sätt att uttrycka theta i termer av x Här är det enklaste sättet.:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

    Så här är ett byte som ger dig ett svar:

    Integrera en Funktion Med Tangent Case

Detta svar är giltigt, men de flesta professorer kommer inte att vara galen om det fula andra mandatperiod, med sinus för en arctan. För att förenkla det, tillämpa dubbelvinkel sine formel för att

Integrera en Funktion Med Tangent Case

Nu använder din trig substitutions triangeln att ersätta värden för

Integrera en Funktion Med Tangent Case

i termer av x:

Integrera en Funktion Med Tangent Case

Slutligen använder detta resultat för att uttrycka svaret i termer av x:

Integrera en Funktion Med Tangent Case