Vad är en Mersenne Prime Number?

April 28

Ett Mersenneprimtal antal är ett primtal som är ett mindre än en potens av två. Om 44 har upptäckts hittills. Under många år trodde man att alla tal av formen 2 n - 1 var prime. På 16-talet, dock Hudalricus Regius visat att 11-01 februari var 2047, med de faktorer 23 och 89. Ett antal andra motexempel visades under de närmaste åren. I mitten av 17-talet, en fransk munk, Marin Mersenne publicerade en bok, den Cogitata Physica-Mathematica. I den boken, förklarade han att 2 n - 1 var premiärminister för ett n-värde på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 och 257.

På tiden, var det uppenbart att det inte fanns något sätt han kunde ha testat sanningen av någon av de högre siffror. Samtidigt, hans kamrater kunde inte heller bevisa eller motbevisa hans påstående. I själva verket var det inte förrän ett sekel senare att Euler kunde visa att den första obevisade numret Mersenne lista, 31-01 februari, i själva verket var prime. Ett århundrade senare, i mitten av 19-talet, visade det sig att 2 127-1 var också prime. Inte långt efter att det visade sig att 2 61-1 var också prime, som visar att Mersenne hade missat minst en siffra i hans lista. I början av 20-talet ytterligare två siffror lades att han hade missat, 2 89-1 och 2 107 - 1. Med intåget av datorer kontrollera om siffrorna var prime eller inte blev mycket enklare och med 1947 hela utbudet av Mersenne s ursprungliga Mersenne primtal hade kontrollerats. Den slutliga listan lagt 61, 89, och 107 till sin lista, och det visade sig att 257 var i själva verket inte prime.

Ändå, för hans viktiga arbete med att lägga ut en grund för senare matematiker att arbeta från, var hans namn som den uppsättning siffror. När ett antal 2 n - 1 är i själva verket prime, det sägs vara en av de Mersenne primtal.

Ett Mersenneprimtal antal har också en relation till det som kallas perfekt tal. Perfekta siffror har haft en viktig plats i antal baserad mysticism i tusentals år. En perfekt nummer är ett nummer n som är lika med summan av dess delare, exklusive självt. Till exempel är antalet 6 är ett perfekt tal, eftersom den har delare 1, 2, och 3, och 1 + 2 + 3 är också lika med 6. Nästa perfekt nummer är 28, med de delare 1, 2, 4 , 7, och 14. Nästa hoppar upp till 496, och nästa är 8128. Varje perfekt tal har formen 2 n-1 (2 n - 1), där 2 n - 1 är också ett Mersenneprimtal nummer. Detta innebär att finna ett nytt Mersenneprimtal nummer fokuserar vi också på att hitta nya perfekta siffror.

Liksom många nummer av detta slag, hitta ett nytt Mersenneprimtal nummer blir svårare eftersom vi framsteg, eftersom siffrorna får betydligt mer komplex och kräver mycket mer datorkraft för att kontrollera. Till exempel, medan den tionde Mersenneprimtal nummer, 89, kan kontrolleras snabbt på en hemdator, det tjugonde, 4423, kommer beskatta en hemdator, och den trettionde, 132.049 kräver en stor mängd datorkraft. Den fyrtionde kända Mersenneprimtal nummer, 20996011 innehåller mer än sex miljoner enskilda siffror.

Sökandet efter en ny Mersenneprimtal Antalet fortsätter, eftersom de spelar en viktig roll i ett antal hypoteser och problem. Kanske den äldsta och mest intressanta frågan är om det finns ett udda perfekt utgångsläge. Om något sådant fanns, skulle det behöva vara delbart med minst åtta primtal, och skulle ha minst sjuttiofem primtalsfaktorer. En av dess främsta divisors skulle vara större än 10 20, så det skulle vara ett verkligt monumental nummer. Som datorkraft fortsätter att öka, kommer emellertid varje nytt Mersenneprimtal antal blivit lite mindre svårt, och kanske dessa gamla problem kommer så småningom att lösas.

  • Ett Mersenneprimtal antal är ett primtal som är ett mindre än en potens av två.