Använda Dubbel Angle Identitet för Cosinus

June 5

Identiteter för vinklar som är dubbelt så stor som en av de vanligaste vinklarna (dubbla vinklar) används frekvent i trig. Dessa identiteter kan du hantera en större vinkel i termer av en mindre och mer hanterbar-en.

En dubbel-vinkelfunktionen är skriven, till exempel, som synden 2θ, cos 2α eller tan 2 x, där 2θ, 2α och 2 x är den vinkel som uppmäts och antagandet är att du menar sin (2θ), cos (2α ) eller tan (2 X). Eftersom tangent är lika med kvoten av sinus och cosinus, kommer dess identitet från sina dubbelvinkel identiteter.

De dubbelvinkel identiteter hittar funktionen för dubbla vinkeln θ. Observera att cosinusfunktion har tre olika versioner av sin dubbelvinkel identitet.

Använda Dubbel Angle Identitet för Cosinus

Att hitta cosinus dubbla vinkel är lättare än att hitta de andra funktionsvärden, eftersom du har tre versioner att välja mellan. Du gör ditt val beroende på vilken information som finns och vad ser lättast att beräkna. För att visa dig var den första av de dubbla vinkel identiteter för cosinus kommer från, detta exempel använder vinkelsumma identitet för cosinus. Eftersom de två vinklar är lika, kan du ersätta β med α, så cos (α + β) = cosa cosβ - synd sinβ blir

Använda Dubbel Angle Identitet för Cosinus

För att få den andra versionen, använd den första pythagoreiska identitet, sin 2 + cos 2 = 1. Lösa för synd 2, får du sin 2 = 1 - cos 2. Att sätta detta resultat tillbaka till dubbelvinkel identitet för cosinus och förenkla, du får

Använda Dubbel Angle Identitet för Cosinus

För att hitta den senaste versionen av den dubbla vinkel identitet för cosinus, lösa första Pythagoras identitet för cos 2 α, vilket ger dig cos 2 α = 1 - sin 2 α. Sedan ersätta detta resultat i den första vinkelsumma identitet för cosinus:

Använda Dubbel Angle Identitet för Cosinus

Den största fördelen med att ha tre olika identiteter för cosinus för dubbla vinkeln är att du kan lösa för cosinus med bara en annan funktion värde. Summa- och skillnads identiteter för sinus och cosinus, å andra sidan, såväl som den dubbelvinkel identitet för sinus, samtliga inbegriper både sinus och cosinus av vinklarna.

Här är ett exempel att visa upp denna fördel. Hitta cos 2α; vinkeln α är i fjärde kvadranten, och sinα = -0,45.

  1. Välj lämplig dubbelvinkel identitet.

    Eftersom du vet värdet av sinus, använd cos 2α = 1 - 2sin 2 α.
  2. Sätt det givna värdet i formeln och förenkla.

    Använda Dubbel Angle Identitet för Cosinus

Den resulte cosinus är positiv. Cosinus är positivt i första och fjärde kvadranter, så hur vet du vilken av dessa två kvadranter terminalsidan av denna dubbla vinkeln ligger i? Gå tillbaka till början av problemet - du vet att den ursprungliga vinkeln är i den fjärde kvadranten. En vinkel i den fjärde kvadranten åtgärder mellan 270 grader och 360 grader. Om du dubbla dessa siffror (eftersom du arbetar med en dubbel vinkel), får du 540 grader och 720 grader. Vinklarna mellan dessa två värden ligger i de tredje och fjärde kvadranterna. Cosinus är positivt i fjärde kvadranten, så denna dubbla vinkeln ligger i fjärde kvadranten.