Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

November 4

Du kan beräkna den momentana hastigheten hos ett föremål med hjälp av gränsvärden. Säg att du och din kalkyl älskande katten hänger ut en dag, och du väljer att släppa en boll av din andra våningen fönstret. Här är formeln som talar om hur långt bollen har sjunkit efter ett givet antal sekunder (ignorera luftmotstånd):

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

(Där h är höjden bollen har fallit, i fot, och t är den tid då bollen tappades i sekunder).

Om du ansluter en till t, h 16; så bollen faller 16 meter under den första sekunden.

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Nu, tänk om du ville bestämma bollens hastighet exakt 1 sekund efter att du tappade den? Du kan börja med att piska ut denna pålitliga ol 'formel:

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Med hjälp av hastighet, eller hastighet formel, kan du enkelt räkna ut bollens medelhastighet under 2: a sekund av dess fall. Eftersom det föll 16 meter efter 1 sekund och totalt 64 meter efter 2 sekunder, föll det 64-16, eller 48 meter, från t = 1 sekund till t = 2 sekunder.

Följande formel ger dig medelhastighet:

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Men detta är inte det svar du vill eftersom bollen faller snabbare och snabbare så det sjunker, och du vill veta dess hastighet exakt 1 sekund efter att du släpper den. Bollen snabbar upp mellan 1 och 2 sekunder, så detta medelhastighet på 48 meter per sekund under 2: a andra är säkert att vara snabbare än bollens momentana hastigheten vid slutet av sin 1: a sekund.

För en bättre approximation, beräkna medelhastigheten mellan t = 1 sekund och t = 1,5 sekunder.

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Dess genomsnittliga hastigheten är alltså:

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Om du fortsätter den här processen för förfluten tid hos en fjärdedel av en sekund, en tiondels sekund, sedan hundra, en tusen, och en tio-tusendels sekund, kommer man till listan över medelhastigheter som visas i denna tabell.

Medelhastigheter från 1 sekund till t Seconds
t sekunder 2 1 1/2 1 1/4 1 10/01 1 1/100 1 1/1000 1 1 / 10,000
Ave. hastighet från 1 sek. till t sek. 48 40 36 33,6 32.16 32,016 32,0016

Som t blir närmare och närmare 1 sekund, de genomsnittliga hastigheterna verkar komma närmare och närmare 32 meter per sekund.

Här är formeln som du kan använda för att generera siffrorna i tabellen. Det ger dig medelhastighet mellan 1 sekund och t sekunder:

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Följande bild visar ett diagram över denna ekvation.

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Denna graf är identisk med kurva över linjen y = 16 t + 16, med undantag för hålet (1, 32).

Det finns ett hål för om du ansluter 1 i t i medelhastighet funktionen, får du

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

vilket är odefinierad. Och varför fick du 0/0? Eftersom du försöker bestämma en medelhastighet - vilket är lika med total distans delat med förfluten tid - från t = 1 till t = 1. Men från t = 1 till t = 1 är naturligtvis, ingen tid, och "under" denna tidpunkt, inte bollen inte resa några avstånd, så att du får

Hur man beräknar momentana hastigheten med Gränser

Uppenbarligen finns det ett problem här. Håll i hatten, har du kommit till en av de stora "Ah ha!" Ögonblick i utvecklingen av differentialkalkyl.

Momentana hastigheten definieras som gränsen för den genomsnittliga hastigheten funktion som den förflutna tiden närmar sig noll.

Det faktum att den förflutna tiden blir aldrig till noll inte påverkar precisionen av svaret på denna gräns problemet - svaret är exakt 32 fot per sekund, höjden av hålet i figuren. Trettiotvå är svaret eftersom som x kommer närmare och närmare 1, blir y närmare och närmare 32. Vad är anmärkningsvärt om begränsningar är att de gör att du kan beräkna den exakta, momentana hastigheten vid en enda tidpunkt genom att gränsen av en funktion som är baserad på en förfluten tid, en period mellan två tidpunkter.