Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

March 17

Ibland behöver du integrera produkten av en funktion (x) och en sammansättning av funktioner (till exempel funktionen 3 x 2 + 7 kapslade inuti en kvadratrot funktion). Om du var differentiering, kan du använda en kombination av Produkten Regel och kedjeregeln, men dessa alternativ arenâ € t tillgänglig för integration.

Givet

Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

Herea € s hur du integrerar, steg för steg, med hjälp variabelsubstitution:

  1. Deklarera en variabel u så här och ersätta den i gral:

    Här, du tilldelar ett värde till u: Låt u = 3 x 2 + 7. Nu ersätta u in integralen:

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

    Gör en mer liten ombildning att placera alla återstående x termer tillsammans:

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

    Denna ombildning klargör att du fortfarande måste hitta en ersättning för x dx.

  2. Nu differentiera funktionen u = 3 x 2 + 7:

    Detta ger dig differential,

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

  3. Ersätt du / 6 för x dx:

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

    Du kan flytta den del 1/6 utanför gral:

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

  4. Nu har du en integrerad att du vet hur man ska värdera.

    Detta exempel sätter kvadratroten i exponentiell form, för att se till att du ser hur man gör detta:

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

  5. För att avsluta, ersätta 3 x 2 + 7 för u:

    Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

Nu kan du kontrollera din integration genom att differentiera resultatet:

Hur att integrera en funktion multiplicerat med en uppsättning av kapslade funktioner

Som genom ett trollslag, ger derivatet dig tillbaka till den funktion du började med.