Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

October 25

Den Maclaurin serien är en mall som gör att du kan uttrycka många andra funktioner som potensserier. Det är källan till formler för att uttrycka både synd x och cos x som oändliga serier.

Utan vidare, här är det:

Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

Beteckningen f (n) betyder "den n: te derivatan av f." Detta blir tydligare i den utökade versionen av Maclaurin serien:

Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

Den Maclaurin serien kan du uttrycka fungerar som potensserier genom att följa dessa steg:

  1. Hitta de första derivat av funktionen tills du känner igen ett mönster.
  2. Ersätt 0 för x i var och en av dessa derivat.
  3. Anslut dessa värden, sikt genom sikt in i formeln för Maclaurin serien.
  4. Om möjligt, uttrycka serien i sigma notation.

Anta till exempel att du vill hitta den Maclaurin serien för e x.

  1. Hitta de första derivat av e x tills du känner igen ett mönster:

    Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series
  2. Ersätt 0 för x i var och en av dessa derivat.

    Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series
  3. Anslut dessa värden, sikt genom sikt in i formeln för Maclaurin serien:

    Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series
  4. Om möjligt, uttrycka serien i sigma notation:

    Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

För att kontrollera denna formel, använda den för att uppskatta e 0 och e 1 genom att ersätta 0 och 1, respektive, in i de första sex termer:

Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

Denna övning naglar e 0 exakt, och approximerar e 1 till två decimaler. Den Maclaurin serien för e x kan du beräkna funktionen för något värde på x till valfritt antal decimaler.

Men Maclaurin serien för e x fungerar bäst när x är nära 0. Som x rör sig bort från 0, måste du räkna fler villkor för att få samma nivå av precision.

Men nu kan du börja se varför Maclaurin serien tenderar att ge bättre approximationer för värden nära 0: Numret 0 är "hårdkodade" i formeln som f (0), f '(0), f "(0) och så vidare.

Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

x genom att använda Maclaurin serien. "/>

Approximera sin x genom att använda Maclaurin serien.

Figuren illustrerar detta. Den första grafen visar sin x approximeras med hjälp av de två första villkoren i Maclaurin serien - det vill säga, som den tredje gradens polynom

Uttrycker Fungerar som driver serien Använda Maclaurin Series

Det andra diagrammet visar en approximation av sin x med fyra termer.

Som ni kan se, förbättrar varje successiv approximation på den tidigare. Vidare tenderar varje ekvation för att ge sitt bästa approximation när x är nära 0.