Hur hitta lokal Extrema med andraderivatan Test

October 13

Andraderivatan Test är baserad på två prisbelönta idéer: Först vid krönet av en kulle, har det en väg en puckel form - med andra ord, det böjda ner eller konkav nedåt. Och för det andra, på botten av en dal, är en väg skålformat, så det böjda uppåt eller konkav upp.

Den konkavitet av en funktion i en punkt ges av sin andra derivata: En positiv andraderivatan innebär funktionen är konkav upp, innebär en negativ andraderivata funktionen är konkav nedåt, och en andra derivat av noll är ofullständiga (funktionen kan vara konkav uppåt eller konkav nedåt, eller det kan finnas en brytpunkt där).

Alla lokala maxima och minima på en funktions graf - kallas lokalt extrema av funktionen - måste ske vid kritiska punkter (där den första derivatan är noll eller odefinierad). Så, för att använda andraderivatan testet, måste du först beräkna de kritiska tal, anslut sedan dessa siffror i den andra derivatan och notera om dina resultat är positiva, negativa eller noll.

Nu analyserar följande funktion med andraderivatan testet:

Hur hitta lokal Extrema med andraderivatan Test

Först hitta den första derivatan av f, och eftersom du behöver den andra derivatan senare, kan man lika gärna hitta det nu också:

Hur hitta lokal Extrema med andraderivatan Test

Ställ sedan in den första derivatan lika med noll och lösa för x.

Hur hitta lokal Extrema med andraderivatan Test

x = 0, -2, eller 2.

Dessa tre x- värden är kritiska antal f. (Ytterligare kritiska tal kunde existera om förstaderivatan var odefinierad vid något x -värden, men eftersom derivat är ett polynom, det definierat för alla värden på x.)

Nu ansluter du de tre kritiska siffrorna i den andra derivatan:

Hur hitta lokal Extrema med andraderivatan Test

Vid -2, är den andra derivatan negativ (-240). Detta visar att f är konkav nedåt där x är lika med -2, och därför att det finns en lokal max på -2. Den andra derivatan är positiv (240) där x är 2, så f är konkav uppåt och därmed finns det en lokal min vid x = 2. Eftersom den andra derivatan lika med noll vid x = 0, misslyckas andraderivatan Test - det säger ingenting om konkavitet vid x = 0 eller om det finns en lokal min eller max där. När detta händer måste du använda första derivatan Test. I det här exemplet, du upptäcker att det varken finns en min eller max vid x = 0; det finns en brytpunkt där.