Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

January 29

Alla lokala maxima och minima på en funktions graf - kallas lokalt extrem - inträffar vid kritiska punkter i funktion (där derivatan är noll eller odefinierad). (Glöm inte, dock, att inte alla kritiska punkter är nödvändigtvis lokala extrem.)

Det första steget i att hitta en funktion lokala extrem är att hitta sina kritiska nummer (x -värden av de kritiska punkterna). Sedan använder du den första derivatan Test. Detta test är baserat på Nobel-pris kaliber idéer som när du går över toppen av en kulle, först du går upp och sedan gå ner, och att när du kör in i och ut ur en dal, du går ner och sedan upp. Denna kalkyl grejer är ganska häpnadsväckande, va?

Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

Figuren visar grafen till

Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

För att hitta de kritiska antalet denna funktion, här är vad du gör.

  1. Hitta den första derivatan av f använda kraften regeln.

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test
  2. Ställ derivatet lika med noll och lösa för x.

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

    x = 0, -2, eller 2.

    Dessa tre x- värden är de kritiska antalet f. Ytterligare kritiska tal kunde existera om förstaderivatan var odefinierad vid något x -värden, men eftersom derivatet

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

    definieras för alla ingångsvärden, lösningen ovan set, 0, -2, och 2, är den kompletta listan över kritiska tal. Eftersom derivatet (och lutningen) till f är lika med noll vid dessa tre kritiska tal, har kurvan horisontella tangenterna på dessa siffror.

Nu när du har listan över kritiska tal, måste du avgöra om toppar eller dalar eller varken förekommer på de x -värden. Du kan göra detta med den första derivatan Test. Gör så här:

  1. Ta ett nummer linje och lägga ner de kritiska nummer du har hittat: 0, -2 och 2.

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

    Du dela detta nummer linje i fyra regioner: till vänster om -2, från -2 till 0, från 0 till 2, och till höger om 2.

  2. Välj ett värde från varje region, anslut den till den första derivatan, och notera om ditt resultat är positivt eller negativt.

    I det här exemplet kan du använda siffrorna -3, -1, 1, och 3 för att testa regionerna.

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

    Dessa fyra resultat är respektive positiv, negativ, negativ och positiv.

  3. Ta ditt nummer linje, markera varje region med lämplig positivt eller negativt tecken, och ange var funktionen ökar och minskar.

    Det ökar där derivatan är positiv och avtagande där derivatan är negativ. Theresult är ett så kallat tecken grafen för funktionen.

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

    Denna siffra säger bara vad du redan vet om du har tittat på grafen av f - att funktionen går fram till -2, ned från -2 till 0, längre ner från 0 till 2, och upp igen från 2 på.

    Nu, här är rocket science. Funktionen växlar från att öka till minska på -2; med andra ord, du går upp till -2 och sedan ner. Så, på -2, har du en kulle eller ett lokalt maximum. Omvänt, eftersom funktionen växlar från minskande att öka vid 2, har du en dal där eller ett lokalt minimum. Och eftersom tecknet för förstaderivatan inte växlar på noll, det finns varken en minut eller en max på att x -värde.

  4. Erhåll funktionsvärdena (med andra ord, höjderna) av dessa två lokala extrempunkter genom att koppla de x- värdena i den ursprungliga funktionen.

    Hur hitta lokal Extrema med förstaderivatan Test

    Således är den lokala max belägen vid (-2, 64), och den lokala min är vid (2, -64). Du är klar.

För att använda förstaderivatan Test för att testa för en lokal extrem vid en viss kritisk nummer måste funktionen vara kontinuerlig vid detta x-värde.