Hur att Ungefärlig Area med Trapezoid Rule

November 21

Med trapetsregeln, i stället för att approximera området med hjälp av rektanglar (som du gör med vänster, höger, och mittpunkts rektangel metoder), du ungefärliga område med - kan du gissa? - trapetser.

På grund av det sätt trapetser krama kurvan, de ger dig en mycket bättre uppskattning område än antingen vänster eller höger rektanglar. Och det visar sig att en approximation trapets är medelvärdet av den vänstra rektangeln och approximationer höger rektangel. Kan du se varför? (Tips: Arean för varje trapetsoid är genomsnittet av de områden av de två motsvarande rektanglarna i de vänstra och högra rektangel summor.)

Figuren nedan visar tre trapezoids dragna under funktionen x 2 + 1.

Hur att Ungefärlig Area med Trapezoid Rule

Från utseendet på denna siffra, kan du räkna med en approximation trapetsoid att vara bättre än en mittpunkt rektangel uppskattning, men i själva verket, som en allmän regel, mittpunkts summor är ungefär dubbelt så bra som trapets uppskattningar.

Om du redan har räknat ut vänster och höger approximationer rektangel för en viss funktion och ett visst antal rektanglar, kan du bara genomsnitt dem för att få motsvarande trapets uppskattning (för detta problem, vet du svaret du kommer att få är (8 + 17) / 2 = 12,5). Om inte, här är formeln:

Den trapetsformade regel:

Hur att Ungefärlig Area med Trapezoid Rule

För funktionen i ovanstående figur med tre trapetser, här är matte:

Hur att Ungefärlig Area med Trapezoid Rule

Även om den formella definitionen av den bestämda integralen är baserad på summan av ett oändligt antal rektanglar, kanske du vill tänka på integration som gränsen för den trapetsformade regeln på oändlighet. Ju längre du zoomar in på en kurva, den rakare blir det. När du använder en större och större antal trapetser och sedan zooma in på var trapezoids röra kurvan, toppar av trapetser komma närmare och närmare kurvan. Om du zoomar in "oändligt", toppar av "oändligt många" trapetser blir kurvan och därmed summan av deras områden ger dig det exakta området under kurvan. Detta är ett bra sätt att tänka på varför integrationen producerar exakt området - och det är vettigt konceptuellt - men det är faktiskt inte gjort det här sättet.