Hur man skiljer inversa funktioner

March 11

Thereâ € sa svårt proffsiga formel involverar derivat av inversa funktioner, men innan du kommer till det, titta på följande figur, som snyggt sammanfattar hela idén.

Hur man skiljer inversa funktioner

Denna figur visar ett par av inversa funktioner, f och g. Inversa funktioner är symmetriska med avseende på linjen, y = x. Som med alla par av inversa funktioner, om punkten (10, 4) är på en funktion, (4 , 10) är på invers. Och på grund av symmetrin av graferna, kan man se att backarna vid dessa punkter är reciprocals:

Hur man skiljer inversa funktioner

Thata € s hur idén fungerar grafiskt.

Den algebraiska förklaringen är lite knepigare, men:

  1. Skriv punkten (10, 4) om f som (10, f (10)).
  2. Uttryck lutningen vid denna punkt (som är derivatan) som

    Hur man skiljer inversa funktioner
  3. Skriv punkten (4, 10) på g som (4, g (4)).
  4. Eftersom f (10) = 4, ersätta 4s i (4, g (4)) med f (10) s.

    Detta ger dig (f (10), g (f (10))).
  5. Uttryck lutningen (derivatan) vid denna punkt, som

    Hur man skiljer inversa funktioner

    Denna svåra proffsiga ekvationen uttrycker inget mer och inget mindre än de två trianglar på de två funktionerna i föregående figur.

    Hur man skiljer inversa funktioner

Med ord säger denna formel att derivatan av en funktion, f, med avseende på x, är det reciproka värdet av derivatan av dess invers med avseende på f.