Medelvärdessatsen

December 22

Du behöver inte medelvärdessatsen för mycket, men det är en berömd sats - en av de två eller tre viktigaste i alla tandsten - så du borde verkligen lära sig det. Lyckligtvis är det mycket enkelt.

Medelvärdessatsen

En illustration av medelvärdessatsen.

Här är den formella definitionen av sats.

Den m ean v alue t heorem: Om f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a, b] och differentierbar på den öppna intervallet (a, b), då det finns ett antal c i (a, b), så att

Medelvärdessatsen

Nu för vanlig engelska versionen. Först måste du ta hand om det finstilta. Kraven i teoremet att funktionen är kontinuerlig och deriverbar garanterar bara att funktionen är en vanlig, smidig funktion utan luckor eller vassa hörn eller spetsar. Men eftersom endast ett fåtal konstiga funktioner har luckor eller spetsiga varv, du behöver inte ofta oroa dig dessa fina poäng.

Okej, så här vad satsen betyder. Sekanten förbindelsepunkter (a, f (a)) och (b, f (b)) i figuren har en lutning ges av formeln:

Medelvärdessatsen

Notera att detta är samma som den högra sidan av ekvationen i medelvärdessatsen. Den derivat i en punkt är samma sak som lutningen av tangenten vid den punkten, så satsen bara säger att det måste finnas minst en punkt mellan a och b, där lutningen på tangenten är samma som lutningen av sekanten från a till b.

Varför måste det vara så? Här är en visuell argument. Tänk dig att du tar tag sekanten ansluter (a, f (a)) och (b, f (b)), och sedan du skjuter upp det, håller den parallellt med den ursprungliga sekanten. Kan du se att de två skärningspunkterna mellan detta skjutlinjen och funktionen - de två poäng som börjar på (a, f (a)) och (b, f (b)) - kommer successivt komma närmare och närmare varandra tills de möts på (c, f (c))?

Om du höjer linjen vidare, du bryta sig loss från funktionen helt. Vid denna sista skärningspunkt, (c, f (c)), glid linjen tangerar funktionen på en enda punkt och är därmed tangerar funktionen där, och samtidigt ha samma lutning som den ursprungliga sekanten.

Här är en helt annan sorts argument som borde tilltala ditt sunda förnuft. Om funktionen i figuren ger din bils mätarställning som en funktion av tiden, då lutningen på sekanten från a till b ger din medelhastighet under denna tidsintervall, eftersom dividera körsträcka, f (b) - f (a), med förfluten tid, b - a, ger dig den genomsnittliga hastigheten. Poängen (c, f (c)), garanteras av medelvärdessatsen, är en punkt där din momentana hastigheten - ges av derivatan f '(c) - är lika din medelhastighet.

Nu, tänk dig att du tar en enhet och genomsnitt 50 miles per timme. Medelvärdessatsen garanterar att du kommer exakt 50 mph i minst ett ögonblick under din enhet. Tänk på det. Din medelhastighet kan inte vara 50 mph om du går långsammare än 50 hela vägen, eller om du går fortare än 50 hela vägen. Så, för att i genomsnitt 50 mph, antingen du går exakt 50 för hela enheten, eller om du måste gå långsammare än 50 för en del av enheten och snabbare än 50 vid andra tillfällen. Och om du ska mindre än 50 vid ett tillfälle och mer än 50 vid ett senare tillfälle (eller vice versa), måste du träffa exakt 50 åtminstone en gång när du snabba upp (eller bromsa). Du kan inte hoppa över 50 - som du ska 49 ett ögonblick då 51 nästa - eftersom hastigheter gå upp genom att skjuta upp skalan, inte hoppa. Så, någon gång, din hastighetsmätare glider förbi 50 mph, och i minst ett ögonblick, du kommer exakt 50 mph. Det är allt medelvärdessatsen säger.