Vad är en kanonisk form?

December 15

Nästan alla matematiska objekt kan uttryckas på flera sätt. Till exempel är den fraktion 2/6 ekvivalent med 5/15 och -4 / -12. En kanonisk form är en specifik schema som matematiker använder för att beskriva föremål från en viss klass i en kodifierad, unikt sätt. Varje objekt i klassen har en enda kanonisk representation matchar mallen för den kanoniska formen.

För rationella tal är a / b, där a och b har inga gemensamma faktorer och b är positiva den kanoniska formen. En sådan fraktion är typiskt beskrivna som att vara "i lägsta termer." När tas i kanonisk form, 06/02 blir 3/1. Om två fraktioner har samma värde, deras kanoniska representationer är identiska.

Canonical former är inte alltid det vanligaste sättet att beteckna ett matematiskt objekt. Tvådimensionella linjära ekvationer har den kanoniska formen Ax + By + C = 0, där C är antingen 1 eller 0. Men matematiker använder ofta lutningen-skärnings formen - y = mx + b - när man gör enkla beräkningar. Lutningen-intercept formen inte är kanonisk; den kan inte användas för att beskriva linjen x = 4.

Matematiker hitta kanoniska former särskilt användbara vid analys abstrakta system, där två föremål kan verka markant annorlunda men är matematiskt ekvivalenta. Mängden av alla slutna banor på en munk har samma matematiska strukturen som uppsättningen av alla ordnade par (a, b) av heltal. En matematiker kan se detta sammanhang lätt om han använder kanoniska former för att beskriva båda uppsättningarna. De två uppsättningarna har samma kanoniska representationen, så att de är likvärdiga. För att besvara en topologisk fråga om kurvor på en munk, kanske en matematiker har lättare att svara på ett likvärdigt, algebraisk fråga om ordnade par av heltal.

Många ämnesområden använder matriser för att beskriva system. En matris definieras av dess enskilda poster, men dessa poster ofta inte förmedlar karaktären av matrisen. Canonical former hjälpa matematiker vet när två matriser är relaterade på något sätt som inte skulle vara uppenbart annars.

Booleska algebror, den struktur som logiker använder när man beskriver propositioner, har två kanoniska former: Normalform och konjunktiv normalform. Dessa är algebraiskt ekvivalent med facto eller expansion av polynom respektive. En kort exempel illustrerar detta sammanhang.

Rektorn för en skola kan säga, "The fotbollslag måste vinna en av sina två första matcher och slå våra rivaler, bålgetingar, i sin tredje spelet, annars tränaren kommer att avskedas." Detta påstående kan skrivas logiskt som (v 1 + w 2) * H + F, där "+" är den logiska "eller" drift och "*" är den logiska "och" drift. Den Normalform för detta uttryck är w 1 * H + w 2 * H + F. Dess konjunktiv normalform för är (v 1 + w 2 + F) * (H + F). Alla tre av dessa uttryck är sant under exakt samma förhållanden, så de är logiskt ekvivalenta.

Ingenjörer och fysiker använder också kanoniska former när man överväger fysikaliska system. Ibland ett system kommer att vara matematiskt lik en annan, även om de verkar ingenting likadana. De differentiella matrisekvationer som används för att modellera en kan vara identiska med de som används för att modellera den andra. Dessa likheter att framgå när systemen är gjutna i en kanonisk form, såsom observer kanonisk form eller styrbar kanonisk form.

  • Matematiker hitta kanoniska former särskilt användbara.
  • En kanonisk form är en specifik schema som matematiker använder för att beskriva föremål från en viss klass i en kodifierad, unikt sätt.